你的生日，藏在圆周率的第几位？

在《疑犯追踪》第二季第 11 集里，「宅总」哈罗德·芬奇讲过一段关于圆周率的话：在 π 无穷无尽的小数中，也许藏着你的生日、电话号码，甚至是用数字写下的整个人生。

这个想法很浪漫。我们熟悉的 3.1415926……，突然像一座没有尽头的图书馆，里面可能有每个人的故事。 不过，π 真的什么都有吗？先从一个小问题开始：你的生日在里面吗？

先试试：找到你的 Pi Day

在下面输入一个日期，看看它对应的八位数字，第一次出现在 π 的什么位置。例如，2015 年 3 月 14 日会写成 20150314。位置从小数点后的第一位开始数，整数部分的 3 不算。

这个实验支持 1900 年 1 月 1 日到 2100 年 12 月 31 日。把这段时间里的 73,414 个有效日期写成八位数字，它们全部能在 π 的小数中找到。

这些位置都是提前算好的，做法见下一节。这里面有几个有意思的例子：

• 2019 年 9 月 14 日：20190914 从第 244 位开始出现，是这批日期中最早出现的。

• 2015 年 3 月 14 日：20150314 第一次出现，要等到第 120,003,525 位。

• 1920 年 11 月 30 日：19201130 藏得最深，第一次出现的位置是第 1,042,067,391 位。

同样是八位数字，有的几百位就找到了，有的要找十多亿位。先记住这份差异，后面讲「均匀」时还会遇到它。

这些位置是怎么算出来的

网上已经有不少「在 π 里找生日」的网站，常见的做法是现查：你提交日期之后，网站再到一段存好的 π 数字里去找这串数字。比如：

• MyPiDay（Wolfram 出品）：把日期写成不带世纪的「月日年」，1959 年 8 月 29 日写成 82959，在 π 的前 1000 万位里做字符串查找，覆盖一个世纪的 36,525 个日期。

• Pi-Search：在前 2 亿位里查找，短的数字串逐位比对，长的借助预先建好的索引。按它的估算，一个 8 位数字串能在前 2 亿位里找到的概率约是 86%。

这里反过来：先把所有可能被问到的日期一次查完，读者查询时只是读出一行现成的结果。整个过程分四步：

1. 算 π：用 Chudnovsky 公式加二分拆分，多进程算出小数点后 30 亿位，在一台电脑上用了约 18 分钟。

2. 一次扫完：用 8 位宽的窗口一位一位滑过这 30 亿位，记下 1900-01-01 到 2100-12-31 每个日期第一次出现的位置。

3. 交叉校验：数字文件的开头和第 10 亿位附近，都与公开的 π 值一致；每条结果再回到数字文件里，核对日期本身和前后各 5 位。73,414 条，没有一处对不上。

4. 压成小文件：每十年一个文本文件，约 95 KB，一天一行，存着位置、在所有日期里的早晚排名，以及前后各 5 位数字。

和现查相比，这样做有几个好处：

• 查得深：30 亿位是 MyPiDay 的 300 倍、Pi-Search 的 15 倍。八位写法下，有 9,952 个日期第一次出现在 2 亿位之后，最深的那个要到 10 亿位以后，只查前 2 亿位就找不到它们。

• 年份完整：用 YYYYMMDD 八位写法，带着世纪，1959 年和 2059 年的 8 月 29 日是两串不同的数字，不会查出同一个结果。比如 19590829 第一次出现在第 40,615,403 位。

• 全部找到，还能排名：两百年里的每一天都有结果，所以除了位置，还能告诉你这一天在 73,414 天里排第几早。

• 读者这边不用算：查询时，浏览器只下载这一天所在十年的结果文件，按日期算出是第几行，直接读出来。不用下载 π 的数字，也不用搜索。

• 可以复核：每条结果都带着前后各 5 位数字，拿任何一份公开的 π 数字都能对照。

结果的统计也和概率论的预期对得上：如果 π 的数字像随机数一样，一个 8 位数字串第一次出现的位置平均约在第 1 亿位，中位数约是 ln 2 × 1 亿 ≈ 6,931 万位。实际算出来，平均是 100,098,232 位，中位数是 69,410,669 位。不过这只是统计上的吻合，下面会说到，它不能代替证明。

找到了这些日期，能证明的就是这些日期确实出现过。要进一步说「所有数字组合都能找到」，还需要跨过很大的一步。

无限不循环，意味着什么？

这件事涉及三个容易混在一起的概念：无理数、合取数、正规数。下面都先按我们熟悉的十进制来讨论。

无理数：小数没有尽头，也不会进入循环

无理数不能写成两个整数的比。它的小数会一直延伸，而且不会从某一位开始，反复播放同一段数字。π 和 √2 都是无理数。

这里的「不循环」，可别理解成「任何数字片段都不能重复」。比如 123 出现过一次，后面当然可以再次出现。它排除的是 0.123123123…… 这样，从某处开始就永远按固定周期重复的情况。

更容易误会的一点是：无限不循环，并没有保证十个数字都会出现。我们自己就能写出一个反例：

0.101001000100001000001……

写法很简单：在相邻两个 1 之间，依次放 1 个、2 个、3 个、4 个……0。零越来越多，1 却始终还会出现，所以它不会结束，也不会进入固定周期。它是无理数，但从头到尾只有 0 和 1，连一个 2 都没有。

因此，单凭「π 是无理数」，推不出「π 里有你的生日」。

合取数：每一段有限的数字串都能找到

想让「什么都有」成立，需要更强的性质：无论给出哪一段有限长度的数字串，都能在小数展开中找到一段连续的匹配。这就是这里说的「合取」。

123、000000、八位生日，甚至一万位长的数字串，都在要求之内。重点是「有限」：再长也可以，但必须有结尾。它没有承诺包含另一条完整的、无限长的数字序列。

把一本书按约定的编码变成数字后，也是一段有限数字串。如果一个数具有这种性质，那么它的小数里就能找到这本书的编码。到这一步，「无限图书馆」的比喻才有了依据。

正规数：不仅找得到，长期比例也均匀

正规数又多提了一个要求：每一种同样长度的数字串，出现的长期比例都相同。十进制下，具体来说：

• 看单个数字，0 到 9 各自的比例趋近 1/10。

• 看连续两位，00 到 99 各自的比例趋近 1/100。

• 看连续八位，每一种组合的比例趋近 1/100,000,000。

统计时，把窗口一位一位向后滑动，相邻窗口可以重叠。而且这个要求要对每一种有限长度都成立。只做到十个数字一样多还不够：0.01234567890123456789…… 每个数字都占十分之一，却永远不会出现 00。

「长期均匀」也不等于间隔整齐。它没有规定每隔一亿位必须出现一次你的生日，更没有规定第一次出现的位置。前面那些相差悬殊的日期，正好提醒我们把这两件事分开。

这三个概念的关系，可以记成一条单向箭头：正规数 → 包含所有有限数字串 → 无理数。反过来都不能直接推。正规数的严格定义，可见 Bailey 与 Borwein 的这篇介绍。

那 π 到底属于哪一种？

我们已经证明了 π 是无理数；但它是否在十进制下包含所有有限数字串、是否为正规数，仍然没有证明。后两项都是猜想，不能把「很相信」写成「已经知道」。

既然还没证明，为什么这么多人相信它？大致有两方面的理由。

第一，正规数在实数里非常普遍。1909 年，Borel 证明了：在数学上的「几乎处处」意义下，几乎所有实数都是绝对正规数，也就是在每个整数进制（至少为 2）下都正规。直观地说，如果能在 0 到 1 之间均匀随机抽一个实数，抽到绝对正规数的概率是 1。相关历史见《正规数的神秘世界》。

但这不等于没有例外。π 是一个确定的数，不是我们刚刚随机抽出来的数。关于「绝大多数」的结论，可以帮助形成直觉，不能替这个特定的数完成证明。

第二，是计算给出的证据。在已经算出的 π 的大量数位中，数字和短数字串的分布表现出很好的均匀性。Bailey 等人的统计研究介绍讨论了这类证据，也明确区分了统计检验与数学证明。

上面的生日实验也是一份很直观的观察：我们关心的七万多个日期都找到了。但它检查的是一批特定的八位数字串，还远没有覆盖任意长度的所有组合。

为什么算了那么多位，还是不能证明？

因为「不管后面有多远都成立」，比「眼前这一大段成立」难得多。正规性讨论的是位数无限增加时的长期比例，任何有限的开头，都不能单独决定这个比例。

做一个思想实验：先原样抄下 π 的前一万亿位，然后在后面接上 101001000100001……，让 1 之间的零越来越多。这个新数在前一万亿位与 π 完全相同，却最终几乎全是 0，当然不是正规数。

这没有说明 π 后面会这样变化。它说明的是：仅靠已经检查过的有限数位，我们无法排除另一种后续。计算能不断增加证据，证明则需要能约束整个无限序列的理由。

有趣的是，我们确实知道一些正规数。例如，把所有正整数依次接到小数点后面：

0.1234567891011121314151617……

这叫 Champernowne 常数，已经被证明在十进制下正规。它的构造规则非常清楚，我们可以沿着这条规则研究数字的分布。相关证明的历史也记在这篇正规数综述中。

这也提醒我们：正规性不等于「毫无规律」。一个数可以有很简单的生成方法，同时让所有有限数字串在长期统计中均匀出现。对于 π、e、√2 这些熟悉的常数，证明正规性仍然非常困难。

πfs：把文件存进 π，硬盘就省了吗？

沿着「数字里可能什么都有」的想法，还有一个很有趣的项目：πfs（pifs）。它尝试用 π 中的数字来表示文件。

文件在计算机里最终都是字节序列。设想把一个文件对应的数字串在 π 里找到，然后只记下它从哪里开始、总共有多长。下次读取时，再去那个位置把数字算出来，拼回原来的文件。

听起来，只要知道 π，就拥有了一块无限大的硬盘。问题是：位置和长度本身，也得存下来。

想象一本巨大无比的书，里面包含你写过的每一张便签。你可以不保存便签原文，改存页码和起止位置。但书越大，页码可能越长；找到那一页、重新读出内容，也都要花时间。

πfs 的实际做法更细：为了减少搜索的开销，它把文件拆成一个个字节，分别记录这些字节在 π 中的位置，再借助 BBP 公式提取相应的十六进制数位来还原。也就是说，文件的信息仍然需要由这些位置记录来承载。具体设计可见它的项目说明。

这种逐字节的实现，只要能找到所需的字节值就可以工作，并不需要先解决「π 是否包含所有任意长数字串」的难题。因此，程序能跑起来，也不构成 π 正规性的证明。

它更像一个程序员式的数学玩笑：把「保存内容」换成「保存内容的地址」，顺便让我们看见，索引和计算也都有成本。丢了那些地址，哪怕内容仍在 π 里，也很难知道哪一段才是你的文件。

回到最开始的生日。我们还不能保证 π 包含每一个可能的故事，但可以确认某个日期已经在它的小数中出现。对这个小实验来说，找到那八位数字，就已经足够有趣了。

参考链接

• 果壳：π 里包含了所有可能的数字组合吗？（2014）：本文开头《疑犯追踪》的台词和配图出处，也讨论了正规数和 πfs。

• MyPiDay：Find Your Pi Day（Wolfram）：现查方式的生日查询网站，这个链接打开的是 1959 年 8 月 29 日。

• Pi-Search：在 π 的前 2 亿位里查找任意数字串。